توزیع نرمال چیست؟ - تعریف و مثال


توزیع نرمال، همچنین به عنوان توزیع گاوسی یا منحنی زنگ شناخته می شود، یک مفهوم آماری است که الگوی یک مجموعه داده را توصیف می کند که در آن بیشتر مقادیر در اطراف میانگین جمع می شوند، در حالی که مقادیر کمتری به طور متقارن دورتر از آن هستند. این توزیع با شکل آن مشخص می شود که شبیه یک زنگ است و نام آن را "منحنی زنگ" گذاشته است.

با توزیع عادی، بسیاری از متغیرهای تصادفی در اقتصاد و تجارت نشان داده می شوند. علاوه بر این، معامله گران همچنین می توانند از آن برای به دست آوردن سایر توزیع های احتمالی استفاده کنند. از این رو، هنگام تجزیه و تحلیل داده ها از اهمیت زیادی برخوردار است.

توزیع نرمال به طور خلاصه

  • توزیع نرمال که به نام توزیع گاوسی نیز شناخته می شود، یک توزیع احتمال متقارن و زنگی شکل است.
  • با میانگین و انحراف معیار مشخص می شود که به ترتیب نشان دهنده مرکز و گسترش توزیع است.
  • تقریباً 68% از داده ها در یک انحراف استاندارد از میانگین، 95% در دو و 99.7% در سه قرار دارد.

درک توزیع نرمال

برای درک توزیع نرمال، اجازه دهید یک تابع چگالی را فرض کنیم که در آن f(x) احتمال آن و X یک متغیر تصادفی است. بنابراین، تابعی را تعریف می کند که بین محدوده یکپارچه شده است (x تا x + dx). همچنین با در نظر گرفتن مقادیر بین، احتمال X را می دهد ایکس و x+dx.

f(x) ≥ 0 ∀ x ε (-∞، +∞)

و -∞🔻+∞ f(x) = 1

در نهایت، می توان گفت که توزیع نرمال، تابع چگالی احتمال برای یک متغیر تصادفی پیوسته در یک سیستم است. 

فرمول

شما می توانید تابع چگالی احتمال توزیع گاوسی را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید:

جایی که:

  • ایکس متغیر است،
  • μ میانگین (یا مقدار مورد انتظار) توزیع است،
  • σ انحراف استاندارد توزیع است و
  • ه عدد اویلر است (تقریباً 2.71828)

منحنی توزیع نرمال

منحنی توزیع نرمال معمولاً است زنگی شکل. به همین دلیل است که منحنی زنگی نام دیگر این منحنی توزیع است. در توزیع عادی، متغیرهای تصادفی می توانند هر مقدار ناشناخته را از یک محدوده معین بگیرند. همچنین می توانید به این متغیرهای تصادفی به عنوان متغیرهای پیوسته اشاره کنید. 

به عنوان مثال، دانش‌آموزان یک مدرسه قدهایی در محدوده‌ای دارند، مثلاً 0 تا 6 فوت. با این حال، این محدوده تحت تأثیر محدودیت‌های فیزیکی یک انسان است.

در واقع، دامنه متغیرها حتی می‌تواند از آن نیز گسترش یابد – ∞ به + ∞. توزیع نرمال در اینجا احتمال مقدار نهفته در محدوده خاص آزمایش را ارائه می دهد. فرض کنید نمی توانید زمان زیادی را برای انجام همه محاسبات اختصاص دهید. در آن صورت، می توانید از ماشین حساب توزیع عادی برای یافتن چگالی احتمال با ارائه انحراف استاندارد و مقدار میانگین استفاده کنید. 

انحراف استاندارد توزیع نرمال

معمولا، انحراف معیار در توزیع نرمال مثبت است. در منحنی توزیع نرمال، میانگین خط تقارن را تعیین می کند. در مقابل، انحراف استاندارد تعیین می‌کند که داده‌ها تا چه اندازه پخش می‌شوند. یک انحراف استاندارد کوچکتر منجر به نمودار باریکتر می شود و بالعکس. 

اگر از انحراف معیار استفاده کنیم، قاعده قابل تأیید می گوید:

  • یک انحراف استاندارد از میانگین حاوی تقریباً 68% از داده ها است.
  • داده های تقریبی 95% در دو انحراف استاندارد از میانگین قرار می گیرند. 
  • سه میانگین انحراف استاندارد حدود 99.7% از کل داده ها را دارند.

بنابراین، ما از قاعده تجربی به عنوان قاعده 68 – 95 – 99.7 نیز یاد می کنیم.

محاسبه چگالی احتمال توزیع نرمال

فرض کنید یک متغیر تصادفی X با مقدار 2 داریم. با توجه به میانگین (μ) 5 و انحراف استاندارد (σ) 4، می‌توانیم تابع چگالی احتمال توزیع نرمال را با استفاده از فرمول زیر تعیین کنیم:

با جایگزینی مقادیر ارائه شده در فرمول، دریافت می کنیم:

بنابراین، چگالی احتمال در X=2 تقریباً 0.096 است.

درباره نویسنده

Percival Knight
Percival Knight یک معامله گر باتجربه گزینه های باینری برای بیش از ده سال است. به طور عمده، او معاملات 60 ثانیه ای را با نرخ ضربه بسیار بالا معامله می کند. استراتژی های مورد علاقه من استفاده از شمعدان ها و تقلبی است

یک نظر بنویسید