Qu’est-ce que le modèle Black Scholes ? | Formule et définition


Le modèle Black-Scholes ou Black Scholes Merton est un modèle mathématique lequel estime la valeur théorique des dérivés basés sur d'autres instruments d'investissement, en tenant compte des effets du temps et d'autres facteurs de risque. C’est l’un des principaux concepts utilisés pour évaluer les contrats d’options. 

Ce modèle a vu le jour en 1973 et reste encore aujourd'hui le moyen le plus connu de fixer le prix du contrat d'option. Approfondissons le concept du modèle Black Scholes. 

Modèle Black-Scholes en un mot

  • Le modèle Black-Scholes, développé en 1973, est encore un modèle bien connu pour la valorisation des contrats d'options.
  • Les investisseurs utilisent l’équation de Black-Scholes pour déterminer le prix exact des options européennes.
  • 5 variables d'entrée clés : Volatilité du marché, prix des actifs, prix d'exercice, taux d'intérêt et délai d'expiration.
  • Limites: Limité aux options européennes, suppose une volatilité constante et peut différer de la dynamique réelle.
  • Le modèle Black-Scholes n'est pas applicable aux options binaires.

Le fonctionnement du modèle Black Scholes

Le modèle Black Scholes suppose que les instruments financiers tels que les options et les actions doivent avoir une distribution log-normale. Il estime en outre que cette distribution log-normale des prix aura constante volatilité et un marche aléatoire. Les investisseurs utilisent l'équation de Black Scholes pour dériver le prix des options européennes. 

Habituellement, un investisseur aura besoin de cinq variables pour mettre en œuvre ce modèle :

  • Volatilité du marché
  • Prix de l'actif sous-jacent
  • Prix d'exercice des options
  • Taux d'intérêt
  • Date d'expiration

Ce modèle permet au trader de déterminer les prix raisonnables des options détenues. Sa prédiction repose sur le fait que le prix d'un actif fortement négocié suit un mouvement brownien géométrique. 

Lorsque nous appliquons ce modèle à l’option d’achat d’actions, il inclut la variation du prix du titre. Il comprend également d'autres éléments tels que le temps valeur de l'argent, prix d'exercice, et le heure d'expiration des options

Hypothèses du modèle

Comme tous les autres modèles, celui-ci suppose certaines choses. Examinons les hypothèses qui sous-tendent le modèle Black Scholes :

  • Le titulaire des Options ne perçoit aucun dividende pendant toute sa durée de vie.
  • On ne peut pas prédire les mouvements du marché, car ils sont aléatoires. 
  • Aucun frais de transaction n'est impliqué dans l'achat des options.
  • Les rendements des actifs sous-jacents suivent une distribution log-normale. 
  • Il y a une cohérence entre le taux sans risque et la volatilité de l'actif sous-jacent.
  • Il n'est applicable qu'aux options européennes et à l'expiration des options. 

Le modèle original de Black Scholes ne comportait aucune disposition concernant les effets sur les dividendes pendant la durée de vie des options. Cependant, les hypothèses de ce modèle peuvent être affinées de temps à autre pour s'adapter aux circonstances. 

  • En utilisant le Modèle Black-Scholes formule, vous pouvez facilement déterminer la valeur de l'option d'achat. 
  • Lorsque cela est fait, vous pouvez enfin le comparer avec le prix actuel de l'option pour déterminer si cela vaut la peine d'acheter. 

Formule du modèle de Black Scholes

La formule mathématique de n'importe quel modèle peut être considérée comme intimidante pour le commerçant. Le débutant, surtout, peut se sentir hanté en regardant les formules. C'est parce qu'ils ne savent pas quoi faire avec ces équations, et encore moins les utiliser pour prendre leurs décisions commerciales. 

Mais ne vous inquiétez pas ! La formule du modèle Black Scholes n'est pas aussi intimidante qu'il n'y paraît :

  • C(S, t) = N(d₁)S – N(d₂)Ke-r(Tt)
  • P(S, t) = N(-d₁)Ke-r(Tt) – N(-d₁)S

où:

  • d₁ = (ln(S/K) + (r + σ²/2)(Tt)) / (σ√(Tt))
  • d₂ = d₁ – σ√(Tt)

et où:

  • C(S, t) & P(S, t) = Prix des options d'achat et de vente
  • S = Cours actuel de l'action
  • K = Prix d'exercice (exercice) de l'option
  • r = taux d'intérêt sans risque
  • T = Délai jusqu'à l'échéance de l'option
  • t = heure actuelle
  • N(x) = Fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard
  • d₁ & d₂ = Variables auxiliaires
  • σ = Volatilité du titre sous-jacent

Un trader n'a pas besoin de comprendre les subtilités de ce modèle pour utiliser la formule. Vous pouvez utiliser cette formule avec des outils d'analyse et divers calculateurs en ligne. De nos jours, les plateformes de trading en ligne proposent divers indicateurs et feuilles de calcul permettant aux utilisateurs de connaître le prix des options. 

Exemple de la formule du modèle de Black Scholes

Comprenons comment un commerçant peut utiliser la formule Black Scholes à l'aide d'un exemple.

Supposons qu'une option d'achat de 6 mois a un prix d'exercice de $50. L'actif se négocie actuellement à $52 et coûte à un trader $4.5. Supposons également que le taux annuel sans risque s'établisse à 5% et que l'écart-type de rendement de l'action soit de 12%. Compte tenu de ces informations, vous pourriez vous retrouver dans un dilemme quant à savoir si vous devez acheter cette option ou non. 

Voici les valeurs données :

  • S = 52 (cours actuel de l'action)
  • K = 50 (prix d'exercice)
  • r = 0,05 (taux d'intérêt sans risque)
  • T = 0,5 (durée jusqu'à l'échéance en années)
  • t = 0 (heure actuelle)
  • σ = 0,12 (volatilité)

Tout d’abord, on calcule d₁ et d₂ :

Nous pouvons maintenant calculer N(d₁) et N(d₂) avec le tableau de distribution normale standard cumulatif :

Enfin, nous mettons les valeurs dans la formule de Black-Scholes :

En utilisant la formule, après avoir calculé d₁ et d₂ et appliqué la formule, la valeur de C sera $2.4601. Il indique que l'option que vous souhaitez exercer a une valeur inférieure à la prime. Ce résultat nous amène à supposer que l’option est surévaluée. Ou alors, nous estimons la volatilité à un niveau inférieur à ce qu’elle est. 

Ainsi, le modèle Black Scholes est l'une des meilleures méthodes pour déterminer si vous vous dirigez dans la bonne direction dans le trading d'options. Tous les traders avancés utilisent ce modèle pour calculer leurs gains potentiels avec le trading d'options. 

La meilleure partie de ce modèle est que même les débutants peuvent utiliser la formule Black Scholes pour prendre les bonnes décisions commerciales. 

Inconvénients du modèle de Black Scholes

Le modèle de Black Scholes a ses inconvénients.

Voici quelques inconvénients dont vous serez probablement témoin lors de l'utilisation de ce modèle. 

  • Un investisseur ne peut utiliser ce modèle que pour déterminer le prix des options européennes. 
  • Il suppose une volatilité constante, ce qui est impossible car le marché fluctue toujours. 
  • Ce modèle dévie parfois un investisseur du modèle du monde réel. 

En conclusion, ce modèle est le meilleur pour déterminer si les options que vous cherchez à acheter sont surévaluées ou non. Il renforce ainsi votre pouvoir de décision.

Pouvez-vous utiliser le modèle Black Scholes pour les options binaires ?

Le modèle Black-Scholes ne s’applique pas à options binaires, uniquement pour les options normales.

Contrairement aux options traditionnelles, les options binaires se caractérisent par un délai de paiement et d’expiration fixes, ce qui signifie que le modèle Black-Scholes n’est pas adapté. Les options binaires utilisent un modèle de tarification différent, tel que le modèle de tarification des options binomiales, qui prend en compte la nature discrète des options binaires et leur résultat binaire (oui/non).

A propos de l'auteur

Percival Knight
Percival Knight est un trader d'options binaires expérimenté depuis plus de dix ans. Principalement, il négocie des transactions de 60 secondes avec un taux de réussite très élevé. Mes stratégies préférées consistent à utiliser des chandeliers et de fausses évasions.

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